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算数基本定理：任何一个≥2的自然数 N都可以唯一分解成有限个素数（质数）的幂的乘积。
N = P1^a1 * P2^a2 * P3^a3 * ……* Pr^ar 这里P1 < P2 < P3 .. … < Pr 均为素数，其中指数ai是正整数。
在继续说明算数基本定理之前，我们需要先了解另外的一个引理和一个定理。
若P为素数，假设P能整除ab，则P能整除a或整除b（或者P能整除a也能整除b）。
P为素数，P能整除ab
（1）如果P能整除a，满足引理。
（2）如果P不能整除a。 因为P为素数，因此P的因数只有1和其本身P。 因为P不能整除a。 所以gdc（P，a）=1。 （P和a的最大公约数） 所以Px+ay=1，将等式两边同时乘以b得到：Pbx+aby=b。 因为P可以整除Pb，P可以整除ab。 所以P可以整除b。满足引理。假设素数P能够整除乘积a1 * a2 * a3 * …… * ar，则P可以整除a1,a2,a3……ar中的任意一个因数。
P为素数，P能够整除乘积a1 * a2 * a3……*ar。
（1）如果P可以整除a1，满足上述定理。
（2）如果P不可以整除a1。 因为P为素数，因此P的因数只有1和其本身P。 因为P不能整除a1。 所以gdc（P，a1）=1。 （P和a的最大公约数） 所以Px+a1y=1，将等式两边同时乘以a2 * a3 * … *ar，得到： P * a2 * a3 * … * ar * x + a1 * a2 * a3 * … * ar * y = a2 * a3 * … * ar 因为P能够整除P * a2 * a3 * … * ar，P能够整除a1*a2*a3*…*ar。 所以P能够整除a2 * a3 * … * ar，满足上述定理。算数基本定理包括两点最基本的内容：
（1）数n可以以某种方式分解为素数的乘积。 （2）只有唯一一种这样的因式分解。（除因数重排外）
因为n≥2。
① n=2时，n=2; n=3时，n=3; n=4时，n=2*2; ② 假设n=N时满足n可以以某种方式分解为素数的乘积。证N+1: 1) 如果N+1为素数：N+1=N+1; 2) 如果N+1为合数：N+1=n1*n2; 因为n1，n2必须满足： 2 ≤ n1，n2 ≤ N； 所以n1，n2满足可以以某种方式分解为素数的乘积。 所以N+1一定满足可以以某种方式分解为素数的乘积。所以数n可以以某种方式分解为素数的乘积
假设 n = p1 * p2 * … * pr = q1*q2 * … * qs （r，s不一定相等）
因为p1可以整除n。 所以p1可以整除 q1*q2 * … * qs。 所以p1一定可以整除q1*q2 * … * qs中的一个qi （通过引理可知） 将q1，q2，…，qs重排，将qi放在第一位，即成为q1。 因为p1，q1都是素数，并且p1可以整除q1。 所以p1=q1。（因为素数的因数只有1和本身）n1 = p2 * p3 * … * pr = q2 * q3 * … * qs （将p1，q1从等式中消去。n1 = n / p1）
因为p2可以整除n0。 所以p2可以整除q2 * q3 * … * qs 。 所以p2一定可以整除q2 * q3 * … * qs中的一个qi （通过引理可知） 将q2，q3，…，qs重排，将qi放在前面，即成为q2。 因为p2，q2都是素数，并且p2可以整除q2。 所以p2=q2。（因为素数的因数只有1和本身）n2 = p3 * … * pr = q3 * … * qs （将p1，q1从等式中消去。n2 = n1 / p2）
继续重复上面的过程。将p全部消除后可得： n/（p1*p2*p3*…*pr）=1=1=1 （p，q都全部消掉） 所以r=s；能找到任何一个pi等于qi。所以因数分解是唯一存在的
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